PROGRAMA

FÍSICA DE SISTEMAS COMPLEJOS

PROFESORES: Javier de la Rubia Sánchez (UNED)

El objetivo del curso es familiarizar al alumno/a con los conceptos y técnicas necesarias para el estudio del comportamiento de los sistemas dinámicos deterministas no lineales. Se prestará especial atención a las nociones de estabilidad y bifurcación, y a la existencia de soluciones periódicas (ciclos límites). Las técnicas matemáticas de análisis se presentarán a través de ejemplos concretos de interés en Física, Química y Biología.

PROGRAMA:
 

 
1. Introducción a los sistemas dinámicos. Sistemas lineales y no lineales: la importancia de la no linealidad. Espacio de fases. Sistemas conservativos y disipativos. Soluciones estacionarias (puntos fijos). Bifurcación de soluciones estacionarias. Ejemplos.
2. El concepto de estabilidad. Definiciones de estabilidad. Estabilidad global. Estabilidad asintótica. Estabilidad estructural. La función de Liapunov como criterio para la estabilidad.
3. Sistemas unidimensionales: estabilidad. El campo de vectores. Puntos fijos y su estabilidad. Representación geométrica de la estabilidad de los puntos fijos. Estabilidad lineal. Ejemplos.
4. Bifurcaciones en sistemas unidimensionales. Clasificación de los puntos de bifurcación. Puntos de retorno y bifurcación silla-nodo. Puntos dobles y bifurcación transcrítica. Puntos de retorno singulares y bifurcación horquilla (pitchfork). Puntos cúspide. Puntos conjugados. Bifurcaciones super críticas (normal) y sub críticas (inversas): histéresis. Bifurcaciones imperfectas.
5. Sistemas lineales de dimensión dos. Solución general del sistema. Autovalores y autovectores de la matriz del sistema. Clasificación de los puntos fijos: nodo, silla, foco, centro. Diagrama de fases.
6. Sistemas no lineales de dimensión dos. Estabilidad lineal de los puntos fijos: la matriz Jacobiana. Estabilidad marginal: efecto de los términos no lineales. Comportamiento cualitativo en el espacio de fases. Atractores. Dominios de atracción. Bifurcaciones en dimensión dos.
7. Soluciones periódicas. Ciclos límite. Criterios para la existencia de soluciones periódicas. Ejemplos: ecuación de van der PoI y reacción química oscilante. -Bifurcación de Hopf supercrítica y sub crítica. Estabilidad de órbitas periódicas.
8. Métodos aproximados de obtención de soluciones periódicas. Métodos perturbativos para el cálculo de soluciones débilmente no lineales. Perturbaciones singulares. Método de Poincaré-Lindstedt. Método de escalas de tiempo múltiples.
9. Formas normales. El teorema de la variedad central. Reducción a la forma normal. Formas normales en codimensión uno y dos y simetrías.
10. Ecuaciones en diferencias. Puntos fijos y su estabilidad. Soluciones periódicas y su estabilidad. La aplicación logística. Aplicaciones bidimensionales.
11. Aparición de soluciones irregulares: caos determinista. Antecedentes históricos. Definición de solución caótica. Atractores extraños. Divergencia de trayectorias sobre un atractor extraño.Exponentes de Liapunov.
12. El modelo de Lorenz. Obtención del modelo. Puntos fijos y su estabilidad. Diagrama de bifurcaciones. Soluciones caóticas.
13. La aplicación logística. Puntos fijos y su estabilidad. Análisis geométrico de las soluciones. Diagrama de bifurcaciones. Desdoblamiento de período. Soluciones caóticas y ventanas de periodicidad.
14. Rutas hacia el caos. Ruta de la cuasi periodicidad (Ruelle-Takens). Ruta del desdoblamiento de período (Metropolis-Stein, Feigenbaum), Ruta de las intermitencias (Pomeau-Manneville). Ejemplosprácticos: de nuevo el modelo de Lorenz y la aplicación logística.
15. Caos en algunos sistemas físico-químicos. Convección de Rayleigh-Bénard. Reacciones químicas. Láseres. Sistemas biológicos.

BIBLIOGRAFÍA:

P. Bergé, Y. Pomeau y Ch. Vidal, Order within chaos: towards a deterministic approach to turbulence (Wiley, New York, 1984)

P. G. Drazin, Nonlinear systems (Cambridge University Press, Nueva York, 1992)

D. W. Jordan y P. Smith, Nonlinear ordinary differential equations (Clarendon Press, Oxford, 1987)

P. Manneville, Dissipative structures and weak turbulence (Academic Press, Boston, 1990)

D. H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos with applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (Addison-W esley , Reading, 1994)