PROGRAMA

FÍSICA DE SISTEMAS COMPLEJOS

PROFESORES: Jorge Arvesú Carballo (UCIIIM)

El curso persigue dar una formación sólida y coherente sobre funciones especiales, cuya aparición en diversos problemas físicos, matemáticos y técnicos resulta bastante frecuente. Estas funciones aparecen, frecuentemente, de manera disconexa a lo largo de la formación básica de Licenciados e Ingenieros, sin un hilo conductor. De manera que el diseño del curso se centra en cubrir este vacío. Además, recurre en multitud de ocasiones a ejemplos prácticos; útiles en el desarrollo de la futura actividad investigadora.

PROGRAMA:
1. Introducción

1.1. Teoremas básicos de variable compleja y ecuaciones diferenciales

2.1. Relación funcional y derivada logarítmica
2.2. Representación asintótica e integral. Desarrollo en serie
2.3. Función Beta de Euler

3.1. Representación asintótica e integral de Fresnel
3.2. Aplicaciones prácticas: Teoría de probabilidad, Termodinámica y Teoría de Oscilaciones

4.1. Modelos de ortogonalidad
4.2. Propiedades fundamentales y su relación con otras áreas del análisis y el álgebra: Ceros, relación de recurrencia, fórmula de cuadratura y ecuación diferencial hipergeométrica
4.3. Ejemplos: Polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite

4.3.1. Casos particulares: Chebyshev, Gegenbauer y Legendre

4.4. Funciones generatrices
4.5. Funciones de segunda especie: Casos particulares

4.5.1. Función integral exponencial
4.5.2. Propiedades básicas. Representación asintótica e integral
4.5.3. Función logarítmica integral
4.5.4. Aplicaciones radio-técnicas

4.6. Desarrollo de una función en serie de polinomios de Hermite y Laguerre
4.7. Aplicaciones a la física cuántica

5.1. Ecuación diferencial de Bessel y Helmgoltz (en coordenadas cilíndricas)
5.2. Función de Bessel de 1ª especie y Hankel
5.3. Propiedades básicas
5.4. Representación integral de Sommerfeld
5.5. Otras clases de funciones cilíndricas
5.6. Método WKB

6.1. Ecuación diferencial hipergeométrica
6.2. Propiedades
6.3. Representación de funciones mediante funciones hipergeométricas
6.4. Desarrollo de funciones en serie de polinomios ortogonales
6.5. Funciones esféricas
6.6. Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales

7.1. Representación de grupos
7.2. Grupo aditivo de números reales y función exponencial. Serie e integral de Fourier
7.3. Grupo SU(2) y polinomios de Jacobi
7.4. Aplicaciones a la física cuántica

BIBLIOGRAFÍA:
- G. E. Andrews, R. Askey y R. Roy, Special Functions (Cambridge University Press, 1999)
- N. N. Lebedev, Special Functions and their  Applications (Dover, New York, 1972)
- Y. L. .Luke, The Special Functions and their  Approximations (Academic Press, 1969)
- A. F. Nikiforov y V. B. Uvarov, Special Functions of Mathematical Physics (Birkhauser Verlag, 1988)
- N. J. Vilenkin, Special Functions and the Theory of Group Representations (American Mathematical Society, 1968)
- J. B. Seaborn, Hypergeometric Functions and Their Applications (Springer-Verlag, 1991)
- R. Askey, ed., Theory and Application of Special Functions, Proceeding of an Advanced Seminar (Academic Press, 1990)
- G. Gasper, Basic Hypergeometric Series (Cambridge University Press, 1975)
- A. F. Nikiforov, S. K. Suslov y V. B. Uvarov, Classical Orthogonal Polynomials of a Discrete Variable (Springer-Verlag, 1991)