PROGRAMA

FÍSICA DE SISTEMAS COMPLEJOS

FRACTALES

PROFESOR: Angel Sánchez Sánchez (UCIIIM)

La geometría fractal es uno de los marcos conceptuales desarrollados en los últimos años de mayor importancia por su generalidad y aplicabilidad a problemas de todo tipo, y proporciona una manera rigurosa de tratar con "objetos" cuya irregularidad está más allá de la geometría euclídea. Este curso presenta los fundamentos de la geometría fractal desde un punto de vista riguroso matemáticamente, pero sin por ello perder de vista las posibles aplicaciones.
El objetivo es que los alumnos aprendan a utilizar los conceptos fractales correctamente, sin caer en los numerosos errores que aparecen en muchos estudios debido al desconocimiento del formalismo. El curso es autocontenido matemáticamente y sólo exige nociones básicas de Álgebra y Cálculo. La discusión de la geometría fractal incluye la generalización a conjuntos multifractales y se completa con algunos ejemplos de gran relevancia física y de  series temporales.

PROGRAMA:
 

1. Introducción.
1. Origen de la geometría fractal
2. Primer fractal: el conjunto de Cantor
3. Segundo fractal: la curva de von Koch
4. Definición de trabajo y dimensiones
2. Dimensiones fractales.
1. ¿Cuánto mide una costa?
2. Dimensión "fractal"
3. Primeras aplicaciones
4. Nuevos fractales
5. Semejanza y scaling
3. Conceptos matemáticos.  
1. Teoría de la medida
2. Medida Hausdorff
3. Dimensión Hausdorff
4. Ejemplos de cálculo de dimensiones
5. Definiciones equivalentes
6. Definiciones alternativas de dimensión
7. Dimensión box-counting
8. Otras dimensiones
9. Más sobre cálculo de dimensiones
10. Cálculo numérico de dimensiones
11. Resultados adicionales: proyecciones, productos, intersecciones

 
4. Multifractales.
1. Introducción
2. Primer ejemplo: redistribución de masa en el conjunto de Cantor
3. La curva f(alfa)
4. Los exponentes tau(q)
5. Relación entre tau(q) y f(alfa)
6. Dimensiones generalizadas
7. Métodos de cálculo de espectros multifractales

 
5. Perfiles fractales: autoafinidad y rugosidad.
1. Series temporales fractales
2. Movimiento browniano y fractales
3. Movimiento browniano fraccionario
4. Autosemejanza y autoafinidad
5. Perfiles y rugosidad
6. Iteración de funciones
7. Aplicación: codificación de imágenes

 
6. Aplicaciones y otros desarrollos.  
1. Transiciones de fase: percolación
2. Caracterización de patrones: universalidad e identificación de procesos
3. Física cuántica: clasificación de funciones de onda
4. Crecimiento fractal
5. Complejidad computacional: tipos de conjuntos y estructuras recursivas
6. Caos y fractales: caracterización de atractores extraños
7. Tratamiento de imágenes

BIBLIOGRAFÍA:

Michael Barnsley, Fractals Everywhere (Academic Press, 1988)

Armin Bunde y Shlomo Havlin, Fractals and Disordered Systems (Springer-Verlag, 1991)

Kenneth J. Falconer, Fractal Geometry with Applications (Wiley, 1990)

Jens Feder, Fractals (Plenum Press, 1988)

Gary W. Flake, The Computational Beauty of Nature (MIT Press, 1999)

Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens y Dietmar Saupe, Chaos and Fractals (Springer-Verlag, 1992)

Comentarios y sugerencias: Luis Miguel Sánchez Sánchez - luismi@pa.uc3m.es
Última actualización: 10 de febrero de 2003