PROGRAMA

FÍSICA DE SISTEMAS COMPLEJOS

PROFESORES: J. Javier García Sanz (UNED)

El curso está enfocado básicamente hacia el estudio de los métodos de variable discreta para la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Se consideran en especial los métodos lineales multipaso y los métodos de Runge Kutta, haciendo un estudio comparativo de ambos métodos en sus aplicaciones a problemas concretos. El enfoque será predominantemente analítico con especial hincapié en las propiedades de convergencia y estabilidad débil; no obstante, también se abordan las ventajas e inconvenientes (tiempo de cálculo, capacidad de memoria, etc.) para su implementación práctica en ordenadores.

PROGRAMA:
 
 

 
1. Análisis y requisitos previos.
1. Interpolación: interpolación por diferencias divididas, interpolación polinomial, interpolación por splines. Operadores simbólicos. Integración y derivación numérica por interpolación.
2. Ecuaciones en diferencias. Ecuaciones con coeficientes constantes.
3. Ecuaciones diferenciales: existencia de solución. Método de Euler. Mejoras en el método de Euler: método de Heun (Runge-Kutta) y método 2-paso.

 
 
2. Métodos lineales multipaso.
1. Forma general. Métodos explícitos e implícitos. Convergencia, consistencia y cero-estabilidad. Orden de un método. Truncatura local. Polinomios característicos . Orden alcanzable. Métodos óptimos: construcción. Estabilidad débil: teoría general. Estabilidad relativa. Intervalos de estabilidad. Criterios de estabilidad.
2. Aplicación de los métodos multipaso. Valores iniciales: métodos Obrechkoff. Iteración en métodos implícitos: condiciones de convergencia.
3. Métodos predictor-corrector. Tipos de aplicación. Estimación y reducción del error local (Milne device, modificadores de Hamming). Estabilidad débil en métodos predictor-corrector. Estimación del paso.

 
 
3. Métodos Runge-Kutta.
1. Orden del método. Convergencia y consistencia. Construcción de un método. Cotas de error: error global y error de redondeo.
2. Estabilidad débil en métodos Runge-Kutta. Métodos Runge-Kutta implícitos.

 
 
4. Comparación entre métodos multipaso y métodos Runge-Kutta.
1. Estimación de errores.
2. Cambio de paso de integración. Tiempo de cálculo.

 
 
5. Ecuaciones de segundo orden.
1. Construcción de métodos, orden del método. Error de truncatura.
2. Cero-estabilidad, convergencia, orden máximo alcanzable, estabilidad débil.

 
 
6. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.
1. Aplicación de los métodos multipaso. Estabilidad débil en métodos multipaso. Estabilidad débil en métodos Runge-Kutta.
2. Sistemas stiff. Construcción de métodos A-estables. Métodos stiffly estables.

BIBLIOGRAFÍA:

F.B. Hildebrand, Introduction to numerical analysis (Dover).

P. Henrici, Discrete variable methods in ordinary differential equations (John Wiley and Sons, 1962).

J.D. Lambert, Computational methods in ordinary differential equations (John Wilew and Sons, 1979).

J.D. Lambert, Numerical methods for ordinary differential systems: the initial value problem (John Wilew and Sons, 2000).

 

 

---